IVE Foundation Mathematics I (ITE3705)

Unit: GCNU302A — Solve Problems of Variations (變數問題)

Supplementary Tutorial Exercise / 補充課堂練習

Questions / 題目

1. If $y$y varies directly as $x$x, and when $x=8$x=8, $y=24$y=24:

若 $y$y 隨 $x$x 正變，且當 $x=8$x=8 時，$y=24$y=24：

(a) Express $y$y in terms of $x$x. / 試以 $x$x 表示 $y$y。

(b) Find $y$y when $x=15$x=15. / 當 $x=15$x=15 時，求 $y$y。

(c) Find $x$x when $y=72$y=72. / 當 $y=72$y=72 時，求 $x$x。

2. If $y$y varies inversely as $x$x, and when $x=5$x=5, $y=18$y=18:

若 $y$y 隨 $x$x 反變，且當 $x=5$x=5 時，$y=18$y=18：

(a) Express $y$y in terms of $x$x. / 試以 $x$x 表示 $y$y。

(b) Find $y$y when $x=9$x=9. / 當 $x=9$x=9 時，求 $y$y。

(c) Find $x$x when $y=15$y=15. / 當 $y=15$y=15 時，求 $x$x。

3. If $P$P varies directly as $\sqrt{x}$x​ and inversely as $y$y. When $x=16$x=16 and $y=3$y=3, $P=40$P=40:

若 $P$P 隨 $\sqrt{x}$x​ 正變，且隨 $y$y 反變。當 $x=16$x=16 及 $y=3$y=3 時，$P=40$P=40：

(a) Express $P$P in terms of $x$x and $y$y. / 試以 $x$x 及 $y$y 表示 $P$P。

(b) Find $P$P when $x=81$x=81 and $y=5$y=5. / 當 $x=81$x=81 及 $y=5$y=5 時，求 $P$P。

(c) Find $y$y when $x=25$x=25 and $P=15$P=15. / 當 $x=25$x=25 及 $P=15$P=15 時，求 $y$y。

4. If $z$z varies directly as $x$x and inversely as $y^2$y2. When $x=3$x=3 and $y=2$y=2, $z=42$z=42:

若 $z$z 隨 $x$x 正變，且隨 $y^2$y2 反變。當 $x=3$x=3 及 $y=2$y=2 時，$z=42$z=42：

(a) Express $z$z in terms of $x$x and $y$y. / 試以 $x$x 及 $y$y 表示 $z$z。

(b) Find $z$z when $x=8$x=8 and $y=4$y=4. / 當 $x=8$x=8 及 $y=4$y=4 時，求 $z$z。

(c) Find $x$x when $y=3$y=3 and $z=112$z=112. / 當 $y=3$y=3 及 $z=112$z=112 時，求 $x$x。

5. In an anime role-playing game, the crafting cost $\mathrm{\$}C$$C of forging an enchanted circular magic shield varies directly with the square of its radius $r\text{ cm}$r cm. When the radius of the shield is $4\text{ cm}$4 cm, the crafting cost is $\mathrm{\$}240$$240.

在一款動漫角色扮演遊戲中，鍛造一面圓形魔法盾的製作成本 $\mathrm{\$}C$$C 與其半徑 $r\text{ cm}$r cm 的平方成正變。當魔法盾的半徑為 $4\text{ cm}$4 cm 時，製作成本為 $\mathrm{\$}240$$240。

(a) If a warrior crafts a shield with radius $6\text{ cm}$6 cm, what will be the crafting cost? / 若戰士鍛造一面半徑為 $6\text{ cm}$6 cm 的魔法盾，製作成本是多少？

(b) When the crafting cost is $\mathrm{\$}960$$960, what is the radius of the magic shield? / 當製作成本為 $\mathrm{\$}960$$960 時，該魔法盾的半徑是多少？

6. According to the air ventilation guidelines for high-speed train cabins on the Hong Kong West Kowloon Express Rail, the air pressure $P\text{ (kPa)}$P (kPa) inside a sealed maintenance cylinder varies inversely with the volume $V{\text{ (cm}}^3\text{)}$V (cm3) of the air at a constant temperature. When $V=800{\text{ cm}}^3$V=800 cm3, $P=120\text{ kPa}$P=120 kPa.

根據香港西九龍高鐵車廂通風設備維護指引，在恆溫狀態下，維修氣缸內的氣壓 $P\text{ (kPa)}$P (kPa) 與氣體體積 $V{\text{ (cm}}^3\text{)}$V (cm3) 成反變。當 $V=800{\text{ cm}}^3$V=800 cm3 時，$P=120\text{ kPa}$P=120 kPa。

Find $P$P when the volume is compressed to $500{\text{ cm}}^3$500 cm3.

當氣體體積壓縮至 $500{\text{ cm}}^3$500 cm3 時，求氣壓 $P$P。

7. At a local bank in Central, the total interest earned $(\mathrm{\$}I)$($I) from a fixed-deposit account varies jointly as the annual interest rate $(r\mathrm{\%})$(r%) and the deposit duration $(T\text{ years})$(T years). When a principal is deposited for $3$3 years at an interest rate of $4\mathrm{\%}$4% p.a., the interest obtained is $\mathrm{\$}1,800$$1,800.

在中環一間本地銀行中，定期存款戶口所賺取的利息 $(\mathrm{\$}I)$($I) 與年利率 $(r\mathrm{\%})$(r%) 及存款年期 $(T\text{ 年})$(T 年) 成聯變。若將一筆本金存放 $3$3 年且年利率為 $4\mathrm{\%}$4%，可獲利息 $\mathrm{\$}1,800$$1,800。

(a) Express $I$I in terms of $r$r and $T$T. / 試以 $r$r 及 $T$T 表示 $I$I。

(b) If the same amount of money is deposited for $5$5 years at an interest rate of $5.5\mathrm{\%}$5.5% p.a., calculate the interest obtained. / 若將相同金額的本金存放 $5$5 年且年利率為 $5.5\mathrm{\%}$5.5%，試計算可獲得的利息。

8. The total venue booking and catering expenses $(\mathrm{\$}E)$($E) for organizing an esports competition in Mong Kok are partly constant and partly vary directly with the number of participating teams $n$n. When $20$20 teams register, the total expense is $\mathrm{\$}2,600$$2,600. When $60$60 teams register, the total expense becomes $\mathrm{\$}5,400$$5,400.

在旺角舉辦一場電競比賽的場地及餐飲開支 $(\mathrm{\$}E)$($E)，一部分為固定費用，另一部分隨參賽隊伍數目 $n$n 正變。當有 $20$20 隊參賽時，總開支為 $\mathrm{\$}2,600$$2,600；當有 $60$60 隊參賽時，總開支為 $\mathrm{\$}5,400$$5,400。

Find the total expense when $90$90 teams enter the competition.

當有 $90$90 隊參賽時，求活動的總開支。

9. For an IVE student graduation banquet ordering customized bento meal boxes from a local restaurant, the unit price per box $(\mathrm{\$}p)$($p) is partly constant and partly varies inversely with the number of boxes ordered $n$n. The unit price of a box is $\mathrm{\$}42$$42 for $20$20 boxes and $\mathrm{\$}36$$36 for $50$50 boxes.

IVE 學生畢業宴向本地餐廳訂購特色便當盒時，每個便當的單價 $(\mathrm{\$}p)$($p) 一部分為固定金額，另一部分隨訂購數量 $n$n 反變。若訂購 $20$20 盒，每個單價為 $\mathrm{\$}42$$42；若訂購 $50$50 盒，每個單價為 $\mathrm{\$}36$$36。

(a) Find the unit price of a lunch box when $100$100 boxes are ordered. / 若訂購 $100$100 盒，求每個便當的單價。

(b) When the unit price of a lunch box is $\mathrm{\$}38$$38, find the number of boxes ordered. / 當每個便當的單價為 $\mathrm{\$}38$$38 時，求訂購的便當數量。

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